【中学受験 算数】 規則性01 入試問題にチャレンジ！

今回は「洛南高付中」の「規則性」を取り上げます。

次のように、１から99までの99個の数で、連続する３個の整数の積を97個作ります。
１×２×３、 ２×３×４、 ３×４×５、 ・・・・・・、 96×97×98、 97×98×99
この中で次のような積は何個ありますか。
（１） ４の倍数である。
（２） ４の倍数であり、８の倍数でない。
（３） ８の倍数であり、16の倍数でない。
（４） 36の倍数である。

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「奇数Ａ×偶数Ｂ×奇数Ｃ」の形を①型、「偶数Ｄ×奇数Ｅ×偶数Ｆ」を②型とする。

（１）

　 ①型が４の倍数になるのは、Ｂが４の倍数のとき。
　 98÷４＝24あまり２より、①型では24個ある。
　②型では、ＤとＦがともに２の倍数なので、すべて４の倍数になる。
　97÷２＝48あまり１より、②型では48個ある。
　24＋48＝72(個)

（２）

　①型が８の倍数になるのは、Ｂが８の倍数になるとき。
　98÷８＝12あまり２より、①型の８の倍数は12個ある。
　すると、①型で４の倍数であり、８の倍数でない積は、24－12＝12(個)となる。
　②型では、ＤとＦのどちらか一方は必ず４の倍数なので、４の倍数であり、８の　　　　　

　倍数でない積はない。よって、12個となる。

（３）

　 ①型が16の倍数になるのは、Ｂが16の倍数になるとき。
　98÷16＝６あまり２より、①型の16の倍数は６個ある。
　すると、①型で８の倍数であり、16の倍数でない積は、12－６＝６(個)となる。
　②型が16の倍数になるのは、Ｄ×Ｆが16の倍数になるときだが、ＤとＦの両方が

　４の倍数になることはないので、ＤまたはＦが８の倍数になればよい。
　Ｄが８の倍数になるのは、97÷８＝12あまり１より、12個。
　Ｆが８の倍数になるのは、99÷８＝12あまり３より、12個。
　②型で16の倍数になる積は、12＋12＝24(個)なので、②型で８の倍数であり、

　16の倍数でない積は、48－24＝24(個)。
　６＋24＝30(個)

（４）

　36＝４×９より、①型が36の倍数になるのは、Ｂが４の倍数で、Ａ、Ｂ、Ｃの

　いずれかが９の倍数の場合で、

　７×８×９、27×28×29、35×36×37、43×44×45、63×64×65、

　71×72×73、79×80×81の７個ある。

　②型は、すべて４の倍数であることがわかっているので、Ｄ、Ｅ、Ｆのいずれか

　が９の倍数のとき。

　Ｄが９の倍数になるのは、Ｄが18、36、54、72、90の５個ある。
　Ｅが９の倍数になるのは、Ｅが９、27、45、63、81の５個ある。
　Ｆが９の倍数になるのは、Ｆが18、36、54、72、90の５個ある。
　すると、②型が36の倍数になる積は、５＋５＋５＝15(個)ある。
　７＋15＝22(個)